Plausibilitätsprüfung durch Betrachtung von Spezial- und Grenzfällen

Dave Richeson hat einen netten Beitrag über Extreme examples and counterexamples verfasst. Zwar unterricht Richeson College-Studenten, aber man kann die Methode auch in der Schule einsetzen: Einerseits, um Vermutungen auf ihre Plausibilität zu überprüfen, und andererseits, um die Richtigkeit von Ergebnissen anschaulich zu begründen.

Ich klaue ganz schamlos zwei von Richsesons Beispielen:

Two runners are in an airport standing at one end of a moving walkway (one of those 100 foot long treadmills). They run at equal speeds to the end of the walkway and back—but one runs on the moving walkway and the other runs on the (unmoving) floor next to the walkway. Conjecture: they both finish at the same time.

Die (intuitive) Vermutung lautet also: Der Zeitgewinn auf dem Hinweg (in Bewegungsrichtung des Transportbandes) kompensiert den Zeitverlust auf dem Rückweg (entgegen der Bewegungsrichtung des Transportbandes), so dass beide Läufer zeitgleich an ihren Ausgangspunkt zurückkehren.

Da in der Problemstellung keine Geschwindigkeiten angegeben sind, muss die unabhängig von konkreten Geschwindigkeiten gefundene Vermutung für alle speziellen Geschwindigkeiten zutreffend sein. Man könnte z. B. betrachten:

  • Spezialfall 1: Das Band steht, und die Läufer bewegen sich mit einer Geschwindigkeit v > 0. Dann kehren sie sicherlich zeitgleich zum Ausgangspunkt zurück.
  • Spezialfall 2: Das Band bewegt sich genauso schnell wie die Läufer. Der Läufer auf dem Band bewegt sich also auf dem Rückweg nicht von der Stelle und kehrt nie zurück! (Widerlegt die Vermutung.)
  • Grenzfall: Die Läufer laufen mit endlicher Geschwindigkeit v > 0 und das Band bewegt sich “unendlich schnell”. Wieder würde der Läufer auf dem Band für den Rückweg eine unendlich lange Zeit benötigen. (Widerlegt die Vermutung.)

Dan Meyer hat eine ähnliche Fragestellung als Video verpackt:

Man kann die Methode auch dazu einsetzen, die Richtigkeit bewiesener Ergebnisse zu veranschaulichen. Aus dem Schulunterricht gelingt das besonders eindrucksvoll beim Ziegenproblem. Verallgemeinert man das Problem von 3 Türen mit 2 Ziegen auf N Türen und N-1 Ziegen, so ist am konkreten Beispiel N = 1000 intuitiv klar, dass der Spieler seine Gewinnchancen durch Wechseln der Tür vervielfacht. Im Grenzfall unendlich vieler Türen strebt die Gewinnwahrscheinlichkeit sogar gegen 1.

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Flipped Classroom

In ein paar Jahren, wenn Google seine Datenbanken etwas besser zugänglich macht, kann man tagesgenau in Erfahrung bringen, wann ein bestimmter Begriff das erste Mal im Internet aufgetaucht ist. Im Falle von flipped classroom scheint die Idee vor etwa vier Jahren entstanden zu sein.

Gerade hat Martin Kurz mir per Twitter dieses Konzept wieder in Erinnerung gerufen: Anstelle von Hausaufgaben schauen sich die Schüler den Lehrerinput zuhause als Video an, dafür wird Unterrichtszeit für kollaboratives Lernen frei, und der Lehrer kann eingreifen, wenn es irgendwo klemmt.

Vor vier Jahren gab es zwei große Probleme zu lösen:

  1. Was tun, wenn ein Schüler zuhause keinen Internetzugriff hat?
  2. Was tun, wenn ein Schüler sich das Video zuhause nicht angesehen hat?

Punkt 1 dürfte sich wohl erledigt haben, jedenfalls ab einer gewissen Klassenstufe. (Mit der Einschränkung: bei gymnasialer Klientel.)

Zu Punkt 2 ist mir folgendes eingefallen: Stanfords Online-Vorlesung AI class arbeitet auf der Basis von Youtube-Videos mit zwischendurch gestellten Multiple-Choice-Fragen, die in das Video eingebettet sind. Jeder Hörer der Online-Vorlesung hat einen Account und sammelt durch die Beantwortung der Fragen Punkte. Er erhält unmittelbare Rückmeldung und kann die gegebenen Antworten korrigieren. (Natürlich kann man auf diese Weise alle möglichen Kombinationen durchprobieren, bis man die richtige Antwort gefunden hat; aber bei vielen Fragen und Mehrfachauswahl kann das ziemlich lange dauern.)

Eine solche Frage ist hier zu sehen:

Man sieht auch: Der Produktionsaufwand der Videos hält sich in Grenzen. Anstatt eine computeranimierte Präsentation zu erschaffen und nachträglich zu vertonen, filmt die Kamera über die Schulter des Vortragenden auf ein Blatt Papier, wo von Hand so gearbeitet wird, wie man das auch an der Tafel tun würde. Abbildungen und Diagramme (und auch die Fragen) werden nicht etwa in der Postproduktion eingeblendet, sondern einfach auf zusätzlichen Blättern vorbereitet und ins Bild gelegt.

Auf diese Weise hätte man erstens einen genauen Überblick, wer das Video wirklich angesehen und “bearbeitet” hat; zweitens kann man durch entsprechende Benotung dafür sorgen, dass es auch wirklich (fast) jeder (fast) immer anschaut.

Ein weiterer Vorteil der Methode: Bei einem 8-minütigen Video mit ein paar eingestreuten Fragen ist jedem Schüler klar, dass er für die Erledigung der “Hausaufgabe” abschätzbar eben diese ca. 10 Minuten benötigen wird. Bei klassischen Hausaufgaben ist der Zeitaufwand für den Schüler kaum abschätzbar, es gibt auch keinen Statusbalken, und wenn der Schüler mal “nicht weiterkommt”, lenkt er sich gerne für ein paar Minuten mit Youtube, SMS und Facebook ab. Dadurch kommen dann angebliche Hausaufgabenzeiten von drei Stunden und mehr zusammen, die ein Effizienz- und größtenteils auch ein Effektivitätsminimum darstellen.

Je mehr ich darüber schreibe, desto mehr reizt es mich, das ganze sobald wie möglich auszuprobieren.

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Early Adopter und der Tipping Point

Ich habe gerade etwas gelesen, das meinen letzten Eintrag gut ergänzt:

Eine Minderheit von Menschen (…) übertrumpft sich mit Vorschlägen für die neue Zeit. (…) Dann gibt es viele Technologen oder kleine Firmen, die schon Lernsoftware entwickelt haben (…). Wenn ich zum Beispiel ein großes Internetportal für Bildungsinhalte fordere, (…) dann schallt mir von überall her ein lautes “Das gibt es schon!” entgegen. (…) Auf Tagungen sind die Early Adopter zumeist lange unter sich (…). Wenn sich überhaupt etwas bewegen soll, muss die aufgeschlossene pragmatische Menge “mitmachen”.

(aus: Gunter Dueck, “Professionelle Intelligenz”. Eichborn, 1. Aufl. 2011, S. 235 ff.)

Soll heißen: Nachdem ein kleiner Kreis einschlägig Interessierter das Feld bereitet (also die Grundsatzdiskussionen geführt) hat, muss die Neuerung der Zielgruppe verkauft werden mit dem Argument: Schau her, hier kannst du durch Einsetzen dieser Technologie mit minimalem Einsatz (= Einarbeitung, Materialerstellung, technische Hürden nehmen, …) maximalen Mehrwert erhalten!

Das gilt für so manche Technologien, Software, Internetportale. Auch für GeoGebra. Das ist mittlerweile schon 10 Jahre alt. Natürlich nicht von Anfang an so nutzbar wie heute, mit allen wichtigen Funktionen, Anleitungen und Videotutorials, einem Communityforum und einer Materialsammlung. Als Werkzeug für den Unterricht wird GeoGebra den Lehrern ausreichend schmackhaft gemacht.

Trotzdem muss ich Klimmzüge machen, wenn ich es im Unterricht einsetzen will. Ich bräuchte nämlich

  • in jedem Klassenzimmer einen festinstallierten Beamer. Ist bei uns derzeit nicht der Fall, und die fahrbaren Geräte sind nicht benutzerfreundlich (müssen reserviert, geholt, angeschlossen, ausgerichtet, zurückgebracht werden etc.).
  • in jedem Klassenzimmer WLAN. Ist bei uns derzeit nicht der Fall.
  • einen auf das verwendete Schulbuch abgestimmten Satz von GeoGebra-Arbeitsblättern. Lizenzfrei, damit ich die Arbeitsblätter bei Bedarf anpassen und in digitaler Form an die Schüler verbreiten kann.

Das letzte gibt es in Ansätzen, z. B. von Klett. Da liest sich dann der erste Punkt von vielen aus der Arbeitsanweisung zur Untersuchung von Parabeln so:

* Öffne Geogebra, suche das 6. Befehlssymbol von links, das normalerweise einen Winkel darstellt, klicke dort auf das kleine Dreieck rechts unten und auf Schieberegler.

Sexy.

Bleibt also festzustellen: Für unsere Klett-Reihe dürfte ich mir zu den einführenden Beispielen und ausgewählten Aufgaben passende GeoGebra-Arbeitsblätter erstellen und in meinem Unterricht einsetzen. Für das Kursstufenbuch beispielsweise müsste ich dafür viele, viiiele Arbeitsstunden aufwenden, auf jeden Fall ist das eher eine Jahres- denn eine Sommerferienarbeit. Für alle Klassenstufen ist das für mich in absehbarer Zeit nicht zu schaffen, und über das Internet darf ich wegen des Verlagsurheberrechts an den Beispielen und Aufgaben die GeoGebra-Arbeitsblätter nicht (ver-)teilen. Erfinde ich eigene Beispiele und Aufgaben, ist der direkte Bezug zum Schulbuch dahin. Irgendwie komme ich an dieser Stelle nicht weiter. Vorläufig kämpfe ich erst mal um mehr Beamer :)

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Parabelanpassung mit Geogebra motivieren

GeoGebra-LogoÜber GeoGebra kann ich ja nur Positives sagen, und seit es die offizielle Materialsammlung GeoGebraTube gibt, werden dort immer schneller immer mehr brauchbare Materialien angeboten. Ein bisschen nacharbeiten muss man zwar bei fast jedem GeoGebra-Arbeitsblatt, und sei es auch nur die Übersetzung von Beschriftungen ins Deutsche oder die Anpassung von Bezeichnungen an den eigenen Unterricht.

Als ich heute meine GeoGebra-Arbeitsblätter neu sortiert habe, ist mir aufgefallen, dass ich GeoGebra in der Mittelstufe viel öfter in der Analysis als in der Geometrie einsetze.

Regelmäßig setze ich etwa folgendes Arbeitsblatt zur Parabelanpassung ein:

Sofern man das Foto nicht symmetrisch zur y-Achse einfügt, ist es gar nicht so leicht, die richtigen Einstellungen der Schieberegler zu finden, damit der Funktionsgraph mit dem Brückenbogen übereinstimmt. (Außerdem habe ich die Parabelgleichung in der Normalform angegeben, weil der Einfluss der Parameter a, b und c für die Schüler hier viel schwieriger zu interpretieren ist als bei der Scheitelpunktsform.)

Die Brückenfotos stelle ich übrigens selbst zur Verfügung, weil man bei der Google-Bildersuche doch eher auf cosh-förmige Brücken stößt, was ich aber in der Mittelstufe nicht thematisieren möchte.

Jedenfalls kommen die Schüler schnell darauf, dass die Parameteranpassung von Hand viel länger dauert (und nicht immer zufriedenstellend klappt), als mit dem GTR ein entsprechendes Gleichungssystem mit drei Unbekannten zu lösen.

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Die gedanklichen Fehler der Lebenswirklichkeits-Didaktiker

Vor ein paar Jahren hörte man erstmals verbreitet die Sprechweise, man müsste “die Schüler dort abholen, wo sie stehen”.

Ich will hier nicht darüber spekulieren, welche psychische Beeinträchtigung jemand hat, der versucht, Menschen dort abzuholen, wo sie nicht stehen.

Gemeint ist natürlich etwas anderes: Man soll an den Lernstand anknüpfen (das ist eine triviale Forderung) und Verbindungen zur Lebenswirklichkeit der Schüler schaffen, um den Stoff attraktiver erscheinen zu lassen.

In dieses Horn stößt zum Beispiel H. Wells Wulsin in seinem Artikel Mathematics vs. MTV: How to Win the Eyeball War (Mathematics Teacher Vol. (8) 104, April 2011). Dazu schlägt er vor, Lehrvideos einzusetzen (“Presenting Examples in High-Resolution Video”) und Jugendliche bzw. Prominente als Protagonisten auftreten zu lassen. Ich glaube nicht, dass dieser Ansatz funktioniert.

Wulsin schreibt beispielsweise:

Teenagers pay attention to people they find appealing. In educational videos, adolescents representing diverse ethnicities, personalities, and cultures — rather than frumpy adults — should do the teaching. Other young people should play the role of learners, making occasional mistakes, just as real students do.

(Streichen wir für die Übertragung auf deutsche Verhältnisse mal “diverse ethnicities”.)

Zuerst muss man festhalten, dass diese Filme in kurzen Abständen neu produziert werden müssten. In meiner eigenen Schulzeit haben wir manchmal Lehrfilme aus den 70ern und 80ern zu sehen bekommen, moderiert von Gestalten im Telekolleg-Stil: Männer zwischen 50 und 60 mit Vollbärten und Hornbrillen, die in einem grau-blauen Studio monoton vor sich hin faselten. Wenn mal Jugendliche in Einspielern auftraten, dann mit komischen Frisuren, ähnlich unmodischen Brillen, zu engen Hosen und seltsamen Ausdrucksweisen (“dufte”, “Polente”, “oberaffengeil”).

Heutzutage würde man die Aktualität auch an Frisuren und Mode festmachen, aber vor allem an der technischen Ausstattung. Der heutigen Schülergeneration kommen Röhrenmonitore bereits vor wie etwas aus dem Technikmuseum, und Klapphandys aus dem Jahr 2008 “gehen ja mal gar nicht”.

Aber das eigentliche Problem ist ein anderes. Dem Schüler wird klar sein, dass die Situation – Jugendliche beschäftigen sich freiwillig und freudig mit dem Lernstoff – gestellt ist, denn sie ist so weit abseits der Lebenswirklichkeit. Meine Schüler jedenfalls dürfte ich nicht vor die Wahl stellen, ob sie lieber den Unterricht (in jedweder Sozialform, mit jedem Gegenstand des Lehrplans, einschließlich Projektarbeit etc.) besuchen oder lieber Fußballspielen bzw. Shoppen gegen wollen. Der Unterricht wird immer den kürzeren ziehen (und ich selbst hätte als Schüler auch nicht anders entschieden). Ich würde ja meistens selbst lieber andere Dinge tun als Klassenarbeiten zu korrigieren!

In addition to young teachers and learners, these videos could occasionally feature famous sports or entertainment figures. What if Michael Phelps calculated the volume of an Olympic swimming pool or Beyoncé computed the time delay needed for speakers at an outdoor concert?

Wie bei den Textaufgaben mit fiktivem Realitätsbezug liegt das Problem auch hier an der Konstruktion. Auf den ersten Blick ist die Relation (Anwendung eines mathematischen Verfahrens – Wirklichkeit) offensichtlich: Michael Phelps schwimmt in einem Becken, das Becken hat ein bestimmtes Volumen, wie groß ist nun dieses Volumen; oder: die Musikerin Beyoncé singt bei einem Konzert, ihre Stimme wird per Lautsprecher übertragen, wie groß muss die eingestellte Verzögerung bei der Übertragung sein.

Auf den zweiten Blick erkennt der Schüler jedoch, dass sich Michael Phelps sicher nicht für das Volumen des Beckens interessiert (dass seine Abmessungen dem Reglement entsprechen, ist Sache des Veranstalters), geschweige dass er es selbst ausrechnen würde. Ebenso kann man sich schwerlich vorstellen, dass Beyoncé den Sachverstand oder die Bereitschaft dazu hat, Aufgaben des Tonmeisters zu übernehmen. Und selbst der Tonmeister benutzt vermutlich ein Computerprogramm für seine Berechnungen.

Wollte man glaubhafte Beispiele finden, darf man sicherlich nicht bei Prominenten suchen. Der Grund für ihre Prominenz ist meistens, dass sie etwas besonders gut beherrschen und diese Sache zu einem hohen Grad professionalisiert haben – was in der Regel eine unüberbrückbare Distanz zur Lebenswirklichkeit der Schüler mit sich bringt.

Man kann diesen Befund auf folgende Formel bringen:

Die Wirklichkeit ist interessant, aber zu komplex, um instruktiv zu sein; die didaktische Reduktion der Komplexität führt zwangsläufig zur Abstraktion und zum Verlust des Reizes des “Echten”.

Daran scheitern letztlich viele gut gemeinte Ansätze.

Ein Beispiel aus meinem eigenen Unterricht, Thema: “exponentielles Wachstum” (Klasse 10). Änderung pro Zeitschritt ist proportional zum Bestand.

  1. Das klassische Beispiel von Fibonacci (Kaninchenvermehrung) hätte ich gerne am lebenden Objekt vorgeführt, aber der Fortpflanzungszyklus ist natürlich zu lang.
  2. Bakterien vermehren sich viel schneller, sind aber nicht ohne technische Hilfsmittel beobachtbar, und selbst dann käme man nicht ohne Zeitraffer aus.
  3. Bleibt noch das Modell mit den M&Ms: eine große Zahl (z. B. 100) M&Ms werden ausgeschüttet und “zeigen” zufällig “m” oder “kein m”. Diejenigen, bei denen “m” oben liegt, werden gezählt, entfernt (gegessen) und der Rest wird eingesammelt, wieder ausgeschüttet etc., wobei sich also die Anzahl bei jedem Schritt in etwa halbiert, die absolute Zahl der pro Schritt entfernten M&Ms ebenfalls.

Die Schüler begeistern sich zuverlässig für diesen Versuch, weil es doch immer reizvoll ist, mit Lebensmitteln zu spielen, die sonst im Matheunterricht selten vorkommen.

Was ist also der Haken?

Durch die notwendige Abstraktion von der Fortpflanzung zum Süßigkeitenmodell ist das “Lebendige” und die Verbindung zur Lebenswirklichkeit verloren gegangen. Die Vermehrung von Kaninchen oder Bakterien ist ein natürlicher Vorgang, der ohne künstlichen (menschlichen) Eingriff von außen abläuft. Insbesondere liegt ihm keine willkürliche Vorschrift zugrunde, die sich ein Mathelehrer ausgedacht hat, wie bei den M&Ms. Was bei den Kaninchen klar ist – die Anzahl der Nachkommen ist proportional zur Zahl der erwachsenen Tiere -, wird beim Süßigkeitenmodell verschleiert durch die implizite Annahme über die gleichbleibende Wahrscheinlichkeit für “m” oder “kein m” beim Ausschütten. (Diesen letzten Punkt kann man didaktisch verbessern, indem man in einem zweiten Durchgang Smarties ausgibt, die sind nämlich nicht markiert.)

Einen Ausweg aus diesem Lebenswirklichkeits-Dilemma kenne ich leider auch nicht. Vorerst bin ich über folgenden Umstand froh: Diese technisch orientierten didaktischen Neuerungen, wie sie derzeit in den USA diskutiert werden, kommen erfahrungsgemäß erst ein paar Jahre später nach Europa. Mit den bis dahin in den USA gesammelten Erfahrungen können wir hoffentlich die schlimmsten Fehler vermeiden.

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Die harte Schule der fünfziger Jahre

In meinem letzten Eintrag hatte ich festgestellt, dass viele Schüler nicht in der Lage sind, darstellungsgemischte Zahlen zu vergleichen. Als ich den Eintrag schrieb, hatte ich ein bestimmtes Bild vor Augen, aber ich kam nicht darauf, was es war.

Mittlerweile ist der Groschen gefallen:

Reaktion des unterrichtenden Kollegen:

Selbst diese einfachsten Aufgabentypen, vier Zahlen zu vergleichen, der Größe nach … wenn ich die erste Aufgabe hernehm’ – fünf von vierundzwanzig Schülern sind in der Lage, vier Zahlen der Größe nach zu vergleichen. Wir sprechen von Zehntklässlern eines Gymnasiums! Das ist tragisch, absolut tragisch.

In der Tat, tragisch, aber auch beschämend und unverzeihlich. Schuld ist natürlich der Taschenrechner. Der Herr rechts in der Lehrerkonferenz ist übrigens der Deutschlehrer, der sich wohl denkt: Gottseidank musste ich die Zahlen nicht ordnen …

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Taschenrechnerverbot

Heute ein Nachtrag zu einem Experiment aus dem Frühjahr.

Irgendwann im April hatte ich genug davon:

  • Nicht nur Brüche wie 15/2 werden mit dem Taschenrechner in Dezimaldarstellung gebracht, es werden sogar Zahlen wie 4/2 mit dem Taschenrechner gekürzt.
  • Kaum jemand ist in der Lage, eine darstellungsgemischte Menge von betragsähnlichen Zahlen der Größe nach zu ordnen.
  • Ergebnisse mit nichtabbrechender Dezimaldarstellung werden mit der höchsten Genauigkeit angegeben, die der Taschenrechner hergibt. Brüche sind verhasst, aber der hässliche Periodenstrich scheint bei den Schülern beliebt zu sein.
  • Niemand schert sich darum, seine Ergebnisse durch Überschlagsrechnung zu überprüfen. Dann kosten 750 Gramm Röstkaffee eben 12.731,43 Euro, wird wohl so sein.

Nach Absprache mit den Chemie und Physik unterrichtenden Kollegen habe ich in meiner zehnten alle Taschenrechner eingesammelt und für vier Wochen sicher verwahrt.

Plötzlich war also angesagt,

  • vor der Rechnung zu überlegen, ob man π wirklich auf 8 Dezimalstellen genau in die Rechnung eingehen lassen will, oder ob es vielleicht auch mit 3,14 oder gar 3,1 getan ist und wie die Genauigkeit des Ergebnisses dadurch beeinflusst wird;
  • das große Einmaleins und die Quadratzahlen bis 400 mit den jeweiligen Radikanden im Kopf zu haben;
  • babylonisches Wurzelziehen anwenden zu können;
  • sich einzugestehen, dass man vergessen hat, wie man schriftlich dividiert (was war das doch schön in Klasse 4);
  • sich aller in früheren Klassenstufen gelernten Tricks zum “vorteilhaften” Rechnen zu erinnern, insbesondere bei Klammersetzung und Bruchrechnung.

Zugegeben, das waren alles Beispiele, die die Arithmetik betrafen. Rechtzeitig zum Beginn der Einheit “graphisches Differenzieren”, Ableitung von sin/cos, habe ich die Geräte wieder zurückgegeben.

Was hat das ganze gebracht?

Sowohl die Schüler als auch ich sind uns der Abhängigkeit vom TR bewusst geworden. Mir war auch deren Tragweite nicht vollständig klar, denn ich bin einfach nicht alt genug, um Mathematikunterricht ohne TR erteilt oder als Schüler erlebt zu haben (zu meiner Schulzeit wurde der TR in der Quarta eingeführt).

Im nächsten Schuljahr werde ich die Klasse nicht mehr unterrichten (Kursstufe etc.), hätte doch zu gerne eine Langzeitbeobachtung durchgeführt. Die Erfahrungen waren aber durchaus positiv, und ich spiele mit dem Gedanken, in der nächsten Obertertia zweigeteilte Klassenarbeiten einzuführen: Grundlagenteil ohne TR und dafür mit Kopfrechnen; anwendungsorientierter Teil mit den Hilfsmitteln TR und Formelsammlung. Dazu müsste ich aber die Bearbeitungszeit auf mindestens 65 Minuten anheben – mal schauen, was die G8-Eltern davon halten. Die haben ja in den 80ern auch schon mit dem TR gelernt.

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