Plausibilitätsprüfung durch Betrachtung von Spezial- und Grenzfällen

Dave Richeson hat einen netten Beitrag über Extreme examples and counterexamples verfasst. Zwar unterricht Richeson College-Studenten, aber man kann die Methode auch in der Schule einsetzen: Einerseits, um Vermutungen auf ihre Plausibilität zu überprüfen, und andererseits, um die Richtigkeit von Ergebnissen anschaulich zu begründen.

Ich klaue ganz schamlos zwei von Richsesons Beispielen:

Two runners are in an airport standing at one end of a moving walkway (one of those 100 foot long treadmills). They run at equal speeds to the end of the walkway and back—but one runs on the moving walkway and the other runs on the (unmoving) floor next to the walkway. Conjecture: they both finish at the same time.

Die (intuitive) Vermutung lautet also: Der Zeitgewinn auf dem Hinweg (in Bewegungsrichtung des Transportbandes) kompensiert den Zeitverlust auf dem Rückweg (entgegen der Bewegungsrichtung des Transportbandes), so dass beide Läufer zeitgleich an ihren Ausgangspunkt zurückkehren.

Da in der Problemstellung keine Geschwindigkeiten angegeben sind, muss die unabhängig von konkreten Geschwindigkeiten gefundene Vermutung für alle speziellen Geschwindigkeiten zutreffend sein. Man könnte z. B. betrachten:

  • Spezialfall 1: Das Band steht, und die Läufer bewegen sich mit einer Geschwindigkeit v > 0. Dann kehren sie sicherlich zeitgleich zum Ausgangspunkt zurück.
  • Spezialfall 2: Das Band bewegt sich genauso schnell wie die Läufer. Der Läufer auf dem Band bewegt sich also auf dem Rückweg nicht von der Stelle und kehrt nie zurück! (Widerlegt die Vermutung.)
  • Grenzfall: Die Läufer laufen mit endlicher Geschwindigkeit v > 0 und das Band bewegt sich “unendlich schnell”. Wieder würde der Läufer auf dem Band für den Rückweg eine unendlich lange Zeit benötigen. (Widerlegt die Vermutung.)

Dan Meyer hat eine ähnliche Fragestellung als Video verpackt:

Man kann die Methode auch dazu einsetzen, die Richtigkeit bewiesener Ergebnisse zu veranschaulichen. Aus dem Schulunterricht gelingt das besonders eindrucksvoll beim Ziegenproblem. Verallgemeinert man das Problem von 3 Türen mit 2 Ziegen auf N Türen und N-1 Ziegen, so ist am konkreten Beispiel N = 1000 intuitiv klar, dass der Spieler seine Gewinnchancen durch Wechseln der Tür vervielfacht. Im Grenzfall unendlich vieler Türen strebt die Gewinnwahrscheinlichkeit sogar gegen 1.

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