Schule des Denkens

Habe gerade das Buch Schule des Denkens von György Pólya gelesen. Ist von 1949, also gewissermaßen ein alter Hut, denn Pólyas Überlegungen gehen auf einen Vortrag zurück, den er 1917 gehalten hat. Aber wie so oft gibt es neben einigen überholten Ausführungen auch Ansätze zu entdecken, die bis heute nicht ihren Weg in die Mathematikdikdatik gefunden haben.

Rückschau

Im Umschlag seines Buches, und zwar gleich vorne und hinten nocheinmal, gibt Pólya dem Leser eine Tabelle an die Hand mit der Überschrift “Wie sucht man eine Lösung?”. Den Weg unterteilt er in vier Schritte:

  • Verstehen der Aufgabe,
  • Ausdenken eines Planes,
  • Ausführen des Planes,
  • Rückschau.

Den letzten Punkt will ich hier diskutieren. Pólya schreibt zu diesem Schritt, “Prüfe die erhaltene Lösung. Kannst du das Resultat kontrollieren? Kannst du das Resultat auf verschiedene Weise ableiten? Kannst du es auf den ersten Blick sehen?”

Darum machen sich wohl nur die wenigsten Schüler Gedanken. Allenfalls bringen wir ihnen bei, wie sie durch Überschlagsrechnungen oder Vergleichsbetrachtungen die Plausibilität des Ergebnisses beurteilen können, aber auch dafür bleibt oft nicht genug Zeit.

Anhand eines Beispiels, das Pólya vorführt, wird der Effekt dieser Methode deutlich.

Dazu betrachtet er folgendes Problem:

Ein Quader mit den Seitenlängen a, b und c sei gegeben. Man bestimme die Länge der Raumdiagonalen.

Dies ist eine Standardaufgabe für die 9. Klasse; der übliche Lösungsweg besteht darin, den Satz von Pythagoras iteriert anzuwenden, was zur Lösung

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

führt.

Für die Rückschau kommen u. a. folgende Überlegungen in Betracht:

  • d hängt offensichtlich von allen drei Variablen ab. Kommen auch alle drei im gefundenen Ausdruck für d vor?
  • d ist symmetrisch in a, b und c. Trifft dies auf den gefundenen Ausdruck für d zu?
  • Verdoppelt man alle Kantenlängen des Quaders, verdoppelt sich auch die Länge der Raumdiagonale. Gibt d diese Abhängigkeit korrekt wieder?
  • Beschreibt die gefundene Lösung die enthaltenen Spezialfälle (des Rechtecks mit c = 0, der Strecke mit b = c = 0, des Punktes mit a = b = c = 0) korrekt?
  • Stimmen die Dimensionen, d. h. wenn a, b und c in Meter eingesetzt werden, hat dann auch d diese Dimension?
  • Welche Resultate liefert der Ausdruck, wenn man die Variablen mit unsinnigen Werten belegt (z. B. negative Kanten”längen”)?

Die Überlegungen, die in diesen Fragen stecken, sind zum einen mathematischer, aber sicherlich auch interessanter und herausfordernder als die Lösung des eigentlichen Problems, nämlich die Anwendung des Satzes von Pythagoras.

Dem Schüler bringt diese Nachbetrachtung ein vertieftes Verständnis der Bedeutung der einzelnen Teile des gefundenen Ausdrucks. Gleichzeitig sind der Kreativität bei der Erfindung von “Prüfsteinen” für eine Lösung kaum Grenzen gesetzt. Meine Schüler haben zum Beispiel die Länge der Diagonale als Funktion von c bei festgehaltenem a und b mit dem GTR geplottet. Zwar konnten sie das Schaubild nicht vollständig interpretieren, aber sie haben sich damit zufriedengegeben, dass die Funktion streng monoton wächst, wie sie es erwartet hatten.

Und das war nur Pólyas erste Leitfrage. Meine Gedanken zu verschiedenen Ableitungen der Lösung formuliere ich im nächsten Eintrag.

Dieser Beitrag wurde unter Uncategorized veröffentlicht. Setze ein Lesezeichen auf den Permalink.

Schreibe einen Kommentar

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s